本文最后更新于 2024年7月5日 上午
今日内容：
01背包问题
题目：
有\(N\)件物品和一个容量是\(V\)的背包。每件物品只能使用一次。
第\(i\)件物品的体积是\(v_i\)，价值是\(w_i\)。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，\(N\)，\(V\)，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有\(N\)行，每行两个整数 \(v_i\),\(w_i\)，用空格隔开，分别表示第\(i\)件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
\(0<N,V≤1000\)
\(0<vi,wi≤1000\)
思路：
二维基础版：
dp[i][j]表示从0-i号物品选，背包容量为j，能装的最大价值。
对于第i件物品
- 若容量不够（\(j<w[i]\)），则dp[i][j] = dp[i -
1][j]，继承价值
- 若容量足够：
- 放入后价值为dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]
- 不放入价值为dp[i - 1][j]，取其中最大值。
可得状态转移方程为：
\[
dp[i][j] =
\begin{cases}
0, & \text {$j=0$} \\
w[i], & \text{$i=0$} \\
max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]), & \text{$else$}
\end{cases}
\]
一维优化版：
由于只需要最终状态，利用滚动数组优化空间
dp[j]表示背包容量为j时能装的最大价值
对于j的遍历，即枚举背包容量时需要逆序。
当进入下一层容量枚举时，新增了物品i，而此时的dp还是对于物品i-1的状态，如果顺序枚举，则枚举到中间就会用到之前的状态，但此时之前的状态已经包含了物品i，会造成重复装入，相当于把dp[i
- 1][j - v[i]]用成了dp[i][j - v[i]]。
代码
二维版
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| #include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int N, V;
cin >> N >> V;
vector<int> v(N);
vector<int> w(N);
for(int i = 0;i < N;i++) {
cin >> v[i] >> w[i];
}
vector<vector<int>> dp(N, vector<int>(V + 1, 0));
for(int j = v[0];j < V;j++) {
dp[0][j] = w[0];
}
for(int i = 1;i < N;i++) {
for(int j = 0;j <= V;j++) {
if(j < v[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
}
}
cout << dp[N-1][V] << endl;
return 0;
}
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一维版
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| #include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int N, V;
cin >> N >> V;
vector<int> v(N);
vector<int> w(N);
for(int i = 0;i < N;i++) {
cin >> v[i] >> w[i];
}
vector<int> dp(V + 1);
for(int i = 0;i < N;i++) {
for(int j = V;j >= v[i];j--) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << dp[V] << endl;
return 0;
}
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优化输入版
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1005;
int f[MAXN];
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w;
cin >> v >> w;
for(int j = m; j >= v; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
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来源：AcWing
2. 01背包问题（状态转移方程讲解）
416. 分割等和子集
题目：
给你一个只包含正整数的非空数组nums
。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
思路：
提前告诉了要用01背包，不然还看不出来是01背包。
套用的关键在于搞清楚在当前场景下，物品价值w[i]、物品体积v[i]、背包容量V、物品数量N分别代表什么。
容易想到要从nums中找到一组数使其和为总和的一半，所以考虑总和的一半作为背包容量，nums中的数的值作为物品的体积
关于为什么物品的价值也是nums中数的值没想明白，下面是目前的解释，对于价值的解释好像偷换概念了：
由于最后要知道背包到底装满没，所以至少得算到dp[sum/2]，也就是容量为sum/2的包里最多能装多少“价值”，，此时并不知道这个“价值”是不是sum/2,也可能比sum/2小，比如1、5、5、11当容量为6时dp[6]=dp[5]=5，所以得判断dp[j]是不是sum/2，所以dp里的值得是数值。
代码
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| class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int sum = 0;
for(int i : nums) sum += i;
if(sum % 2 == 1) return false;
sum /= 2;
vector<int> dp(40001, 0);
for(int i = 0;i < nums.size();i++) {
for(int j = sum;j >= nums[i];j--) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}
return dp[sum] == sum;
}
};
|